Bilangan Real

Bilangan Real 1) Berbagai sistem bilangan Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: clip_image002 dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan. Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut: clip_image003clip_image004 Gambar 1.1 2) Pengertian Bilangan Real Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini. Bilangan-bilangan bulat dan rasional Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (clip_image006= Natural), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (clip_image008= dari bahasa Jerman, Zahlen): …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti: clip_image010,… Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk clip_image012, dimana m dan n adalah bilangan bulat dan clip_image014, disebut bilangan-bilangan rasional (clip_image016= Quotient ). Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun clip_image018 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi clip_image018[1] adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga clip_image021 Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya. Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari clip_image023. Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit. Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut: clip_image025 clip_image027 clip_image029 clip_image031 Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu clip_image033 dan clip_image035 memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu clip_image018[2] dan clip_image038 (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang). Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional! Bilangan-bilangan real Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar! clip_image040 Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.1. Pertanyaan Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn? 3) Operasi pada Bilangan Real Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian a) Operasi penjumlahan clip_image042 Contoh: 1. clip_image044 2. clip_image046 3. clip_image048 4. clip_image050 b) Operasi pengurangan clip_image052 Contoh: 1. clip_image054 2. clip_image056 3. clip_image058 c) Operasi perkalian clip_image060 Contoh: 1. clip_image062 2. clip_image064 3. clip_image066 d) Operasi pembagian clip_image068 Contoh: 1. clip_image070 2. clip_image072 3. clip_image074 4. clip_image076 Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya a) Mengubah pecahan biasa ke desimal Contoh: 1. clip_image078 2. clip_image080 3. clip_image082 b) Mengubah pecahan desimal ke persen Contoh: 1. clip_image084 2. clip_image086 c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya Contoh: Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen! 1. clip_image088 2. clip_image090 3. clip_image092 4. clip_image094 Menghitung persentase a) Komisi Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan Contoh: Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima? Jawab: Komisi clip_image096 clip_image098 clip_image100 clip_image102 Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesarclip_image104. b) Diskon Diskon adalah potongan harga yang diberikan Contoh: Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar? Jawab: Diskon clip_image106 clip_image108 clip_image110 clip_image111Jadi, kita harus membayar sebesar: clip_image113 c) Laba dan rugi Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut: Laba = Penjualan – Pembelian Rugi = Pembelian – Penjualan Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut: Contoh: Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan! Jawab: Laba clip_image115 Persentase keuntungan (laba) dari harga beli: clip_image117 Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan: clip_image119 4) Sifat-sifat operasi bilangan real Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”. Untuk setiap clip_image121, beralku sifat-sifat berikut; Penjumlahan: 1. Sifat tertutup pada penjumlahan; clip_image123 2. Sifat komutatif pada penjumlahan clip_image125 3. Sifat asosiatif pada penjumlahan clip_image127 4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan clip_image129 5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral) clip_image131 6. Sifat invers pada penjumlahan clip_image133 Perkalian: 1. Sifat tertutup pada perkalian clip_image135 2. Sifat komutatif pada perkalian clip_image137 3. Sifat asosiatif pada perkalian clip_image139 4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan clip_image141 5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian) clip_image143 6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers. clip_image145 (untuk clip_image147) clip_image149 (tidak ada/tidak didefinisikan) Catatan: Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol, karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini